TAXAS DE JUROS
Proporcional;
Equivalente;
Nominal;
Efetiva;
Acumulada;
Real;
Aparente;
Over;
Média.
Taxas proporcionais: são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.
12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre;
1% ao mês é proporcional a 12% ao ano.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Qual é a taxa de juros mensal proporcional a taxa nominal de 12% a.a.?
12% : 12 meses = 1% a.m.
Obs.: Basta dividir a taxa nominal pelo período proporcional solicitado, que nesse caso foi mensal.
Taxas equivalentes: são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.
Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.
No regime de JUROS COMPOSTOS, todavia, as taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais.
Considere a seguinte situação: um indivíduo aplicou R$ 100,00
durante 1 ano, a uma taxa de 2% a.m., com capitalização mensal.
Vamos calcular o montante produzido no final do prazo.
C = 100
capitalização mensal
i = 2% a.m. = 0,02
t = 1 ano = 12 meses => n = 12
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,02)12
M = 100 . 1,268242
M = 126,82
Você percebeu que o capital, de 100 passou para um montante de
126,82? Houve, portanto, um aumento de 26,82%.
Se tivéssemos utilizado uma taxa de 26,82% a.a., capitalizada
ANUALMENTE, o montante seria de:
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,2682)1
M = 100 . 1,2682
M = 126,82
Uma vez que os montantes são iguais, podemos concluir que a taxa
de 2% ao mês é EQUIVALENTE, em juros compostos, à taxa de
26,82% ao ano.
O mais importante é notarmos que:
(1 + 0,02)12= (1 + 0,2682)1
Ou seja:
Duas taxas são equivalentes quando os seus fatores de capitalização
forem iguais ao mesmo prazo.
Esta é a grande dica na resolução de problemas envolvendo taxas
equivalentes. Quando se defrontar com um problema sobre taxas
equivalentes, você deve impor que os fatores de capitalização sejam iguais. E isto vale tanto para o regime de capitalização simples como para o regime de capitalização composta.
De fato, sabemos que, tanto para juros simples como juros
compostos, o montante (M) é dado pelo produto do capital (C) pelo fator de capitalização respectivo (an). Considere, então, duas taxas i1e i2, aplicadas sobre o mesmo capital C, durante o mesmo prazo t, produzindo os montantes M1e M2. Sejam an,1e an,2os respectivos fatores da acumulação de capital. Se i1e i2forem EQUIVALENTES,
teremos que:
M1= M2
C . an,1= C . an,2
an,1= an,2
Ou seja, os fatores de acumulação de capital an,1e an,2deverão ser
iguais.
Nós poderíamos ter fornecido a você uma fórmula para estabelecer
diretamente a equivalência entre uma taxa e outra. Não fizemos isso porque é perfeitamente possível resolver os problemas de
equivalência igualando os fatores de acumulação, e não queremos
que você fique com mais uma fórmula ocupando a sua cabeça.
Exercícios resolvidos
01- Calcular a taxa anual equivalente a uma taxa de 3% a.m. capitalizada mensalmente.
Resolução:
Se as taxas são equivalentes, seus fatores devem seriguais no prazo
de 1 ano. Segue que:
(1 + ianual)1= (1 + 0,03)12
O expoente do fator da taxa de 3% é igual a 12 porque, em 1 ano,
ocorrem 12 capitalizações mensais (a taxa é mensal). Já o expoente
da taxa “ianual” é igual a 1 porque, se a taxa é anual, em 1 ano ocorre apenas uma capitalização.
(1 + ianual) = 1,425760
ianual= 1,425760 – 1
ianual= 0,425760
ianual= 42,57% a.a.
Portanto a taxa de 3% a.m., capitalizada mensalmente,é equivalente à taxa de 42,57% a.a., capitalizada anualmente.
Em vez da taxa efetiva de 3% a.m., o problema poderia ter fornecido uma taxa nominal de 36% a.a. com capitalização mensal.
Resolveríamos do mesmo jeito, pois a taxa nominal de 36% a.a.
corresponde à taxa efetiva de 3% a.m. (basta usar o conceito de taxas proporcionais).
Taxa nominal:são taxas de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais,e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
12% ao ano, capitalizados mensalmente;
24% ao ano, capitalizados semestralmente;
10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
18% ao ano, capitalizados diariamente.
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida o regime de juros simples. A taxa anual equivalente
a essa taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu
origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros
compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal.
Taxa efetiva: são taxas de juros em que a unidade referencial de sue tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:
2% ao mês, capitalizados mensalmente;
3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
10% ao ano, capitalizados anualmente.
Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano.
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções
financeiras das planilhas eletrônicas.
A TAXA EFETIVA é a taxa verdadeiramente paga em uma aplicação.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01- Calcular a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 40% a.a. com capitalização trimestral.
Resolução:
Iea= taxa efetiva anual = ?
capitalização trimestral
in= 40% a.a. (taxa nominal) => ief(taxa efetiva trimestral) = 10% a.t. = 0,10 a.t.
t = 1 ano = 4 trimestres
(1 + iea)1= (1 + 0,10)4
1 + iea= 1,4641
iea= 0,4641
iea= 46,41% a.a.
02- Considerando-se regime de juros compostos, qual é a taxa mensal capitalizada mensalmente equivalente a uma taxa de 34%a.s.?
Resolução:
Queremos uma taxa mensal imque, em 6 meses, produza uma taxa
de 34%. Em 6 meses a taxa mensal terá 6 capitalizações e a taxa semestral, 1 capitalização.
34% a.s. = 0,34 a.s.
(1 + im)6= (1 + 0,34)
(1 + im)6= 1,34
Normalmente você deveria extrair a raiz sexta de 1,34 e isolar o im. Se o examinador fornecer a raiz sexta de 1,34, que é1,04998, o
cálculo torna-se fácil:
1 + im= 1,04998
im= 1,04998 – 1 = 0,04998 = 4,99% => 5%
Embora pouco provável, pode ser que, ao invés de fornecer a raiz
sexta 1,34, ele dê os seguintes dados pra você:
log 1,34 = 0,12710479
10
0,02118413= 1,04998
Este tipo de dado sugere que devemos aplicar logaritmo nos dois
lados da equação anterior, para calcular o valor dataxa mensal.
Ficaria assim:
log (1 + im)6= log 1,34
6 . log (1 + im) = log 1,34
log (1 + im) = log 1,34/6
log (1 + im) = 0,12710479/6 = 0,02118413
(1 + im) = 10
0,02118413
1 + im= 1,04998
im= 0,04998 = 4,9998% = 5%
Se na prova não for fornecida tabela de logaritmo e nem for
permitido o uso de máquina de calcular (e isto é o que tem ocorrido
mais frequentemente), a alternativa será entrar na tabela financeira
determinando qual é a taxa, para n = 6, que produziria um fator de
acumulação igual 1,34. É simples. Basta seguir com osolhos a linha
n = 6 e localizar a célula que contém o valor mais próximo possível
de 1,34. Se você procurar, vai encontrar uma célula com o valor
1,340096, cuja taxa correspondente é de 5%. Portanto, im= 5% a.m.
É evidente que, neste caso, o examinador tem que dar uma
mãozinha, fornecendo um fator fácil de procurar na tabela, senão
fica inviável a resolução da expressão acima.
taxa acumulada: são taxas de juros com taxas variáveis e normalmente são utilizadas em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
A composição das taxas pode ocorrer de duas formas,com taxas positivas ou com taxas negativas.
taxa real: nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uma aplicação financeira rendeu 10% em um determinado período de tempo, e no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%. Qual a taxa real de juros?
Fica claro que o ganho real desta aplicação não foi os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo período de tempo.
Assim, para calcular a taxa real, devemos dividir ataxa maior acrescida de uma unidade pela taxa menor acrescida de uma unidade e, após a divisão, subtrair uma unidade, usando a fórmula: ir = (1 + i>):(1 + i<) – 1
i> = 10% = 0,10
i< = 8% = 0,08
ir = (1 + 0,10):( 1 + 0,08) – 1
ir = 1,10 : 1,08 – 1
ir = 1,01851 – 1
ir = 0,01851 ou 1,85%
taxa aparente: é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação.
Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais.
( 1 + ia) = (1 + ir).(1 + i inf)
taxa over: é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão do mercado financeiro). Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento.
Esta prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 90. Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos as operações de CDIs – Certificados de Depósitos Interbancários.
taxa média:tem como base teórica o conceito estatístico da média
geométrica.
Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de um conjunto de taxas extraindo a raiz enésima, tomando-se como base o número de termos do próprio conjunto de taxas.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TAXAS DE JUROS
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TAXAS DE JUROS
(Proporcional, Nominal, Efetiva, Equivalente, Real e Aparente)
1) Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% a. m.?
2) Determinar as taxas semestral e mensal, proporcionais à taxa de 24% ao ano.
3) Qual é a taxa proporcional ao ano de uma taxa de3,5% ao trimestre?
4) Qual a melhor taxa para aplicação? 1% a.m ou 12%a.a
5) A taxa nominal ao ano de uma operação de empréstimo:
a) Nunca indica o real custo da operação de empréstimo.
b) Sempre indica o real custo da operação de empréstimo.
c) Indica o real custo da operação de empréstimo apenas se esta tiver prazo de um mês.
d) Índice o real custo da operação de empréstimo apenas se a freqüência de capitalização for igual a 2.
6) Um capital de CR$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, o montante será de ?
Use: (1,07)1/3= 1,0228 / (1,07)7/3= 1,1709 / (1,0228)7= 1,1709
7) Calcule a taxa efetiva semestral correspondente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal ?
8) Determine a taxa efetiva trimestral correspondente a uma taxa nominal de 18% ao ano, com capitalização bimestral.
Use: (1,03)1,5= 1,0453
9) Qual a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano, com capitalização mensal?
Use: (1,005)12= 1,0617
10) Que taxa efetiva bimestral corresponde à taxa nominal de 9% ao trimestre, com capitalização mensal?
11) Considere uma empresa que precisa tomar um empréstimo de seis meses. A melhor alternativa é:
a) 24% ao ano de taxa nominal com capitalização semestral
b) 23% ao ano de taxa nominal com capitalização trimestral
c) 22% ao ano de taxa nominal com capitalização bimensal
d) 21% ao ano de taxa nominal com capitalização mensal
12) José e Maria estão discutindo sobre fazer um investimento pelos próximos 180 dias corridos. José conseguiu com seu gerente uma taxa nominal anual de 12% ao ano capitalizada bimestralmente, enquanto que Maria conseguiu uma
taxa efetiva anual de 12% ao ano. Qual a melhor alternativa?
a) Devem aplicar no banco de José.
b) Devem aplicar no banco de Maria.
c) Tanto faz, as duas alternativas geram o mesmo rendimento.
d) Devem aplicar 50% em cada alternativa.
13) Duas taxas de juro são ditas equivalentes quando:
(i) são taxas de juro compostas e
(ii) quando aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo período geram mesmo valor de juro.
a) (i) e (ii) são afirmações verdadeiras
b) (i) e (ii) são afirmações falsas
c) (i) é verdadeira e (ii) é falsa
d) (i) é falsa e (ii) é verdadeira
Gabarito:
1) 12,68% 2) 12% a.s. e 2% a.m.
3) 14% a.a.
4) 1% a.m 5) letra A 6) R$ 234,18
7) 12,62 % a.s.
8) 4,53 % a.t.
9) 6,17% a.a.
10) 6,09% a.b.
11) letra D
12) letra A 13) letra A
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